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모어의 원 작도를 통애 주응력과 최대 전단응력을 찾는 방법을 설명합니다.
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모어의 원 (Mohr’s circle) – [공학나라] 기계 공학 기술정보
쉽게 말해 응력의 좌표 변환을 해주는 원이다. 크리스티안 오토 모어님께서 만드셨다. 하중을 받는 구조물의 한점의 응력은 좌표축에 따라 응력의 성분이 …
Source: mechengineering.tistory.com
Date Published: 12/16/2022
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07.평면 응력 상태에서의 모어원(Mohr Circle)
평면 응력 상태에서의 모어원 강의 바로가기 <<< 앞 서 설명한 주응력과 최대 전단응력1,2를 통해 05.주응력과 최대 전단응력1 무료 동영상 강의 ...
Source: mathmecha.tistory.com
Date Published: 2/12/2021
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6-1. 모어원 그리는 방법 – 배경지식편
Mohr’s circle, 모어원(모어서클) 은 기사시험에도, 그리고 공기업 전공시험에도 단골로 … 1) 모어원에서 최대 전단응력은 원의 반지름값과 같다.
Source: alliebird.tistory.com
Date Published: 9/30/2022
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모어원(Mohr’s circle) 그리는 4단계 방법 – 블로그 – 네이버
반대로 τxy가 음(-)일 때, 점 X는 σ축 위에, 점 Y는 σ축 아래에 위치합니다. . 3단계 : 원의 중심 C(σm,0)를 잡습니다. σ m= …
Source: blog.naver.com
Date Published: 10/12/2022
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모어의 원
모어의 원 … Mohr의 원은 재료의 강도에 대한 기계 공학 , 토양 강도에 대한 지반 공학 , 건축 구조물의 강도에 대한 구조 공학과 관련된 계산에 자주 사용됩니다 . 또한 …
Source: wiko.wiki
Date Published: 6/16/2022
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[재료역학] 모어 원(Mohr’s circle) – 공부해서 남주자
평면응력에서의 변환 공식은 모어원으로 쉽게 나타낼 수 있습니다. 모어 원은 응력을 받는 점에서 여러 경사면에 작용하는. 수직 및 전단응력의 관계를 …
Source: study2give.tistory.com
Date Published: 4/29/2022
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모어의 응력원(Mohr’s stress circle) | 과학문화포털 사이언스올
모어의 응력원(Mohr’s stress circle) … [요약] 탄성체 내의 어떤 한 점에 있어서 임의의 경사진 단면에 작용하는 수직응력과 전단응력을 작도적으로 구할 …
Source: www.scienceall.com
Date Published: 8/27/2021
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【재료역학】 6강. 모어 원 – 정빈이의 공부방
6강. 모어 원(모아 원, Mohr’s circle) 추천글 : 【재료역학】 재료역학 목차 1. 2차원상의 모아 원 2. 3축 응력 1. 2차원상의 모아 원 ⑴ (참고) …
Source: nate9389.tistory.com
Date Published: 10/3/2021
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모어 원 (Mohr’s Circle) – 영구노트
모어 원은 응력 변환(stress transformation)의 도식법(graphical method)이다. 회전된 좌표계에 대한 응력 성분을 구할 때 변환 공식을 이용하는 …
Source: satlab.tistory.com
Date Published: 3/7/2021
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- Author: 씽킹 구조역학
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- Date Published: 2021. 1. 22.
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모어의 원 (Mohr’s circle)
모어의 원 (Mohr’s circle)
쉽게 말해 응력의 좌표 변환을 해주는 원이다. 크리스티안 오토 모어님께서 만드셨다.
하중을 받는 구조물의 한점의 응력은 좌표축에 따라 응력의 성분이 달라진다.
(응력 자체가 바뀌는 것은 아니고 어느 축에서 보는냐에 따라서 응력의 성분이 달라진다. 잘 이해가 가지 않는다면 힘 벡터를 어느 좌표축으로 분석을 하느냐에 따라 성분이 달라진다고 보면 된다.)
아래 그림은 3차원 좌표에서의 응력 상태를 나타내는 모어의 원이다.
아래와 같이 3차원에서는 한점은 9개의 응력 스칼라량을 가진다. 이러한 것을 코시 응력 텐서 (Cauchy stress tensor) 라 한다.
2차원 응력 상태의 모어의 원
대부분 이해를 돕기 위해서 3차원 문제가 아닌 간단화된 2차원 응력 상태의 모어의 원을 다룬다 (모두가 3차원은 어렵다고 생각했기 때문이지…).
아래와 같이 2차원 평면 응력 상태 를 가정하면 3개의 응력 성분만 남게 된다.
주 응력과 주 축
아래 그림에서 보면 한 점의 응력 상태는 정의되는 좌표축에 따라 A~E 로 모두 표현될 수 있으며
(즉 어느 축에서 정의하냐에 따라 응력값이 달라지는 것이다. 예를 들어 AB 축에서 보면 응력의 상태는 A상태의 값이 나오고 EC 축에서 보면 응력의 상태는 전단응력이 0인 E 상태의 값이 나오기도 한다.)
특히 C 점과 E 점은 전단응력 tau가 0이 되는 지점으로 이때의 응력 sigma1과 sigma2는 주 응력 (principal stress) 이라고 하며 이때의 좌표축을 주 축 (principal axes) 한다.
모어의 원 사용법
모어의 원은 한점의 응력상태 (예를 들어 위 그림에서 A 점) 을 알면 모어의 원을 그릴 수 있고 이 원을 통해 어느 좌표에서도 응력 값을 (예를 들어 C, D, E 점)의 응력 상태를 구할 수 있는 것이다. 이는 곧 주축과 주응력도 구할 수 있다는 말이다.
예제
잘 이해가 안갈테니 예제나 풀어보자.
어느 점의 응력 상태가 위와 같을 때 모어의 원을 이용해서 주응력과 주축을 구하라.
아래 식은 복잡해 보이지만 원리를 이해하면 간단하다 (공식같은 걸 미리 외울 필요없이 그냥 쉽게 풀 수 있다!!!)
아래는 피타고라스 정리를 이용해서 모어원의 반경을 구하는 식
아래는 모어원의 중심을 구하는 식
이로서 모어의 원은 구해졌다.
그러므로 주응력은 아래와 같이 쉽게 구해질 수 있다.
주축은 (각도는 아래 그림의 각 BOE를 참고)
참고문헌
https://en.wikipedia.org/wiki/Mohr%27s_circle
07.평면 응력 상태에서의 모어원(Mohr Circle)
>>> 평면 응력 상태에서의 모어원 강의 바로가기 <<< 앞 서 설명한 주응력과 최대 전단응력1,2를 통해 그림.1과 같은 평면응력 하에서 그림.1 평면 응력 상태 임의의 각도에서의 응력과 최대 응력 등을 확인하였는데 이러한 응력의 값들을 가시화하고 한 눈에 쉽게 이해하여 해석할 수 있는 모어 원(Mohr Circle)이라는 방법이 있다. 이 모어 원은 평면응력을 받고 있고 응력의 값을 알고 있을 때, 그릴 수 있다. (독일 엔지니어, Otto Mohr에 의해 고안됨)모어 원을 그리고 나면 물체 내의 한 점에서의 응력과 방향을 결정하는 기하학적 보조수단으로 사용 가능하다. 모어 원을 작도하는 순서를 알아보자. 1. 지름 선 작도 주어진 평면응력 값을 좌표 축에 아래와 같이 점으로 표시한 뒤 두 점을 선으로 연결한다. 그림.2 2. 원 작도 그은 선과 수직응력 축이 만나는 점을 센터(c)로 정하여 응력의 점까지 거리를 반지름(R)으로 한 원을 그린다. 그림.3 3. 각도, 점 표시 그은 선과 수직응력 축과의 각도를 2θp, 원과 수직응력 축이 만나는 두 점을 주응력(бp1, бp2), O점을 제 3의 주응력(бp3), c점에서 선을 그어 원과 만나는 점을 면 내 최대 전단응력(τp)으로 정한다. 그림.4 4. 최대 전단응력 결정 최대 주응력(бp1)과 제 3의 주응력(бp3) 사이의 거리를 지름으로 두고 점선 원을 그린다. 이 때, 3차원 상의 최대 전단응력(τmax)이 결정된다. 필요 시, 임의의 각도에서의 응력 값도 표시할 수 있다. 그림.5 5. 다른 2가지 경우의 모어 원 챕터 6의 주응력과 최대 전단응력2에서 소개했듯이 제 3의 주응력에 의해 최대 전단응력을 결정할 때, 아래와 같은 2가지 경우가 더 있어 소개한다. 그림.6 주응력이 둘 다 압축응력일 때의 경우 그림.7 인장응력, 압축응력이 둘 다 존재할 때의 경우 챕터 8의 연습 문제를 통해 이해도를 높여 보자. 반응형
6-1. 모어원 그리는 방법 – 배경지식편
Mohr’s circle, 모어원(모어서클) 은 기사시험에도, 그리고 공기업 전공시험에도 단골로 나오는 문제입니다.
그런데 책을 피면 이보다 더 공식이 복잡하고 어려울 수 없습니다.
저는 개인적으로 저런 긴 공식들을 보면 현기증이 오거든요..
그리고 실제로, 공식을 외우지 않고도 모어원 문제를 쉽게 풀 수 있는 방법이 있습니다.
간단한 규약만 외워놓고, 삼각함수와 피타고라스정리만 할 줄 알면 쉽게 풀 수 있는 방법이 있어 정리해보고자 합니다.
일단 본격적인 문제풀이를 다루기 전에, 문제에서 뭘 구해야 하는건지, 모어원을 그리기 위해 기본적으로 뭘 알아야하는지 알아보도록 하겠습니다.
(참고) 왜 이렇게 되나요? 하면 저도 모릅니다..문제 푸는 스킬만 익혀서..^^;;..
■ 경사단면에서의 평면응력이란? (모어원 문제에서 구해야 하는 것)
그림a. 평면응력이 작용하는 요소
위 a번 사각형에 평면응력이 작용하고 있습니다. 우리는 사각형에 수직으로 작용하고 있는 수직응력 σ와, 접선방향으로 작용하고 있는 전단응력 τ 을 알고있다고 가정합시다.
그런데, 저 사각형요소에서 ‘특정각도 θ 만큼 기울어진 면’ 의 수직응력, 접선응력은 어떻게 될까요?
무슨 말인지 아래의 그림을 봅시다.
그림c. θ만큼 회전한 요소
조금 비약해서 설명해보자면..
①그림 a와 같이 기존의 평면응력 σ, τ 가 그대로 작용하는 상태에서 (실선화살표)
②요소를 θ만큼 기울이면,
③그 면에서의 새로운 평면응력인 σ’와 τ’가 (점선) 생기게 되고, 바로 이 σ’ 와 τ’를 구하는 것이 목적이 됩니다.
(실제로 요소는 그림 c처럼 회전하지는 않습니다만 그림으로 이렇게 표현하는 것 뿐입니다.)
■ 모어원을 그리기 위한 배경지식
자 위에서 이제 우리가 뭘 구하고자 하는지 알았으니, 본격적으로 모어원을 작도하기 전에 부호규약에 대해 알아봅시다. 사실 부호는 본인이 정의하기 나름이긴 한데, 보통 아래와 같이 풀어서 저도 대세를 따라가겠습니다.
1. 전단응력의 부호
모어원 이용한 문제에서 전단응력은 값 하나만 주어집니다.
요소에 접선방향으로 작용하는 전단응력은 화살표가 오른쪽 위를 향하고 있으면 +, 그 반대면 – 라고 정합니다.
(문제에서는 +, – 수치로 주어지기도 하지만, 도형에 화살표와 수치만 표시해놓고 부호를 생략하는 경우가 있습니다. 이런 경우 화살표 방향을 보고 부호를 구분해야 합니다.)
2. 수직응력의 부호
수직응력은 인장이면 +, 압축이면 – 입니다.
모어원을 작도할 때 수직응력은 x축 값, y축 값이 따로 나옵니다. (σx , σy) 즉 x,y값 요소가 각각 인장인지 압축인지 판단해서 숫자에 부호를 붙여주면 되겠습니다.
(문제에서 친절하게 부호와 값이 같이 나와있으면 그대로 풀면 됩니다.)
예시로 하나만 봅시다.
x축 방향은 인장이니까 +가 되고, y축 방향은 압축이니 – 가 될 것입니다.
3. 모어원의 좌표계
모어원을 그릴 때 좌표는 x축이 수직응력, y축이 전단응력입니다.
특이하게, y축 전단응력은 위가 (-) 입니다. 이것만 주의해주면 됩니다.
4. 주응력이란?
주응력 (principal stresses) 은 우리가 구하고자 하는 경사면에서의 최대 or 최소의 수직응력을 말합니다.
보통 σ1 (최대), σ2 (최소) 로 표현합니다.
아직 이해가 안가시겠지만 미리 개념을 알아두자면, 아래와 같이 모어원 좌표계에서 원을 그리면 주응력과 최대 전단응력은 아래와 같습니다.
참고로 모어원문제에서 항상 원의 중심은 가로축 (수직응력축) 위에 있습니다.
1) 모어원에서 최대 전단응력은 원의 반지름값과 같다.
2) 최대, 최소주응력은 전단응력이 0 인 지점에서 발생한다 (가로축 위에 있으니까)
모어원에서의 주응력과, 최대전단응력
이제 모어원을 그리기 위한 배경지식을 모두 알았습니다.
그럼 다음포스팅에서 본격적으로 어떻게 모어원을 그려야 하는지 알아보도록 하겠습니다.
모어원개념,모어원설명,모어원작도,모어원문제,모어원공식,모어원이란,모어원부호
모어원(Mohr’s circle) 그리는 4단계 방법
따라서 τxy가 양(+)일 때, 점 X는 σ축 아래에, 점 Y는 σ축 위에 위치합니다.
반대로 τxy가 음(-)일 때, 점 X는 σ축 위에, 점 Y는 σ축 아래에 위치합니다.
3단계 : 원의 중심 C(σm,0)를 잡습니다. σ m=(σ x+σ y)/2입니다.
[재료역학] 모어 원(Mohr’s circle)
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이번 포스팅에서는 모어 원(Mohr’s circle)에 대해 알아봅시다.
모어 원(Mohr’s circle)
평면응력에서의 변환 공식은 모어원으로 쉽게 나타낼 수 있습니다.
모어 원은 응력을 받는 점에서 여러 경사면에 작용하는
수직 및 전단응력의 관계를 그림으로 보여주기 때문에
이해하는데에 매우 쉽습니다.
모어 원 예시. 출처: wolsong.koreasmc.co.kr
모어 원의 방정식
모어 원의 방정식은 평면응력을 다뤘던 공식을 변형하여 구할 수 있습니다.
$$\sigma _{x, \theta} = \frac{\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2}+\frac{\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}\cos 2\theta + \tau _{xy}\sin 2\theta \tag{1}$$
$$\tau _{xy, \theta} = -\frac{\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2} \sin 2\theta + \tau _{xy}\cos 2\theta \tag{2}$$
식 (1), (2)는 평면응력 상태에서 경사면에서의 응력을 나타낸 공식입니다.
이 두 식을 살짝 변형시키면,
$$\sigma _{x, \theta} – \frac{\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2} = \frac{\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}\cos 2\theta + \tau _{xy}\sin 2\theta \tag{3}$$
$$\tau _{xy, \theta} = -\frac{\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2} \sin 2\theta + \tau _{xy}\cos 2\theta \tag{4}$$
식 (3), (4)를 각각 제곱하여 더하면 $2\theta$에 관한 항은 소거되고
그 결과는 아래와 같습니다.
$$(\sigma _{x, \theta} – \frac{\sigma _{x}}{\sigma _{y}}{2})^{2} + \tau ^{2}_{xy, \theta} = (\frac{\sigma _{x} – \sigma _{y}}{2})^{2} + \tau ^{2} _{xy} \tag{5}$$
여기서 $\sigma _{avg} = \frac{\sigma _{x}}{\sigma _{y}}{2}$, $R = \sqrt{(\frac{\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2})^{2}+\tau ^{2} _{xy}}$라 하면
최종적으로 모어 원의 방정식은 아래와 같습니다.
$$ (\sigma _{x, \theta} – \sigma _{avg})^{2} + \tau ^{2} _{xy, \theta} = R^{2}$$
이제 위와 같은 원의 성질을 이용하여 경사면에서의 응력을 계산할 수 있습니다.
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모어의 응력원(Mohr’s stress circle)
[요약] 탄성체 내의 어떤 한 점에 있어서 임의의 경사진 단면에 작용하는 수직응력과 전단응력을 작도적으로 구할 때 사용되는 원이다.탄성체 내의 어떤 한 점에 있어서 임의의 경사진 단면에 작용하는 수직응력과 전단응력을 작도적으로 구할 때 사용되는 원. 2차원 물체 가운데 임의의 점에 대한 주응력 σ 1 , σ 2 가 주어진다면 법선방향이 σ 1 과 θ의 각도를 가지는 면 위에서는 수직응력 σ와 전단응력 τ는 , 로 주어지므로 이 된다. 위식은 σ와 를 직교좌표계에 취하면 중심((σ 1 +σ 2 )/2, 0) 반지름 │(σ 1 -σ 2 )/2│의 [그림]과 같은 원이 된다. 기울기 v의 단면에 작용하는 σ 및 의 값은 ∠CAB=2θ의 점 B의 좌표를 독해함에 따라 도식적으로 얻을 수 있다.
【재료역학】 6강. 모어 원
6강. 모어 원(모아 원, Mohr’s circle)
추천글 : 【재료역학】 재료역학 목차
1. 2차원상의 모아 원
2. 3축 응력
1. 2차원상의 모아 원
⑴ (참고) 응력 요소
Figure. 1. 응력 요소
⒜ 3차원 형상의 응력 표시
⒝ 2차원 단면의 응력 표시
⒞ 기울어진 2차원 단면의 응력 표시
① ⒝에서 대칭성에 의해 좌측면의 전단응력 = 우측면의 전단응력 = τ xy
② ⒞에서 대칭성에 의해 좌측면의 전단응력 = 우측면의 전단응력 = τ x1y1
③ ⒝에서 모멘트 평형에 의해 전단응력이 같음 : τ xy = τ yx
④ ⒞에서 모멘트 평형에 의해 전단응력이 같음 : τ x1y1 = τ y1x1
⑤ ⒝에서 힘 평형에 의해 수직응력이 같음 : 좌측면의 수직응력 = 우측면의 수직응력 = σ x
⑥ ⒞에서 힘 평형에 의해 수직응력이 같음 : 좌측면의 수직응력 = 우측면의 수직응력 = σ x1
⑵ 절단면에 작용하는 응력
Figure. 2. 절단면에 작용하는 응력
① 절단면의 법선방향에 대한 평형조건
② 절단면의 접선방향에 대한 평형조건
③ 결론 : 다음과 같은 원의 방정식을 찾을 수 있음
④ 주평면 : 최대, 최소 응력이 존재하고 전단력이 0인 단면
⑶ 모어 원 그래프 도식
Figure. 3. 모어 원 그래프 도식
① 반지름의 제곱이 (0.5σ x – 0.5σ y )2 + τ xy 2이고 중심이 (0.5σ x + 0.5σ y , 0)인 원의 방정식
② 양의 x축으로부터 θ 각을 이루는 x 1 – y 1 평면 위에 작용하는 응력 σ x1 과 τ x1 y1 은 모어 원에서 σ x1 축으로부터 반시계 방향으로 2θ 회전한 원주상의 좌표임
③ 해석 1. θ = 0일 때 수직응력은 최대이고 전단응력은 최소임 (자명)
④ 해석 2. ± 45°에서 τ x1 y1 의 절댓값이 최대이므로 ± 45°를 따라 전단면이 형성
⑷ 스트레인 로제트(strain rosette)
① 일반식
Figure. 4. 스트레인 로제트
② 스트레인 로제트 – 45°
Figure. 5. 스트레인 로제트 – 45°
③ 스트레인 로제트 – 60°
Figure. 6. 스트레인 로제트 – 60°
2. 3축 응력
⑴ 예제 1. τ p 가 없다고 가정
① 4면체의 응력 요소
Figure. 7. 4면체의 응력 요소
② 전단응력 표시
Figure. 8. 전단응력 표시
(단, l, m, n은 방향 코사인(direction cosine))
○ x축에 대한 모멘트 평형에 의해 전단응력이 같음 : τ zy = τ yz
○ y축에 대한 모멘트 평형에 의해 전단응력이 같음 : τ zx = τ xz
○ z축에 대한 모멘트 평형에 의해 전단응력이 같음 : τ yx = τ xy
③ 기본 방정식
④ 행렬표현
⑵ 예제 2. 외부 전단응력이 없다고 가정
① 조건 수식화
② 기본 방정식 : 힘의 평형 도입
③ τ p 를 다음 조건을 만족하는 τ 1 과 τ 2 로 분해
○ τ 1 은 (-m, l, 0)에 평행 : (l, m, n)과 수직
○ τ 2 는 (-n, 0, l)에 평행 : (l, m, n)과 수직
○ 발상 : σ p 가 (l, m, n)에 평행한 상황에서 x축, y축, z축에 대한 각 힘의 평형식에서 σ p ΔA에 붙는 계수가 각각 l, m, n
○ 식의 재구성
○ 결과
④ 그래프 도식 : 가로축을 σ p , 세로축을 τ p 라고 할 때
○ l = 0인 경우 : 원의 방정식
○ m = 0인 경우 : 원의 방정식
○ n = 0인 경우 : 원의 방정식
○ 종합적인 상황
Figure. 9. 종합적인 상황
○ 전략 : l = 0, m = 0, n = 0 각각에 대해 원을 따로 그림
○ 총 네 개의 영역으로 구분 : 편의상 위쪽을 영역 1, 왼쪽을 영역 2, 오른쪽을 영역 3, 아래쪽을 영역 4로 정의
○ Lemma. 종합적인 상황에서 모든 점은 영역 1 또는 영역 4에 놓임
⑤ Lemma의 증명
○ 우선 l ≥ 0, m ≥ 0, n ≥ 0에 대해서만 생각
○ 내부 점의 존재성 : 당장 P2라는 점이 대응되는 상황이 있음
○ 각각의 원 위에 점이 있는 경우 : l, m, n 중 하나는 0이어야 함
○ 가장 큰 원의 밖에 점이 있는 경우
○ Figure. 6.에서 가장 큰 원을 통과하지 않고 l, m, n의 값을 바꿔서 P2로 도달할 수 있는 경로는 없음
○ P2 근처의 점으로 이동하는데 l = 0, m = 0, 또는 n = 0이 되지 않도록 방향벡터 (l, m, n)의 경로를 설정하는 것은 가능
○ 따라서 가장 큰 원의 밖에 점이 있는 경우는 존재하지 않음
○ 왼쪽 원 안에 점이 있는 경우 : P1 근처의 점에 대해서 비슷한 논리를 적용할 수 있음
○ 오른쪽 원 안에 점이 있는 경우 : P3 근처의 점에 대해서 비슷한 논리를 적용할 수 있음
○ 연속성에 의해서 l ≥ 0, m ≥ 0, n ≥ 0이 아니어도 적용 가능
○ 엄밀하지 못한 서술
○ l ≥ 0, m ≥ 0, n ≥ 0이라 해도 영역 1 + 영역 4를 모두 덮지 못함
입력 : 2016.05.30 11:21
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모어 원 (Mohr’s Circle)
1. 모어 원(Mohr’s Circle)
모어 원은 응력 변환(stress transformation)의 도식법(graphical method)이다. 회전된 좌표계에 대한 응력 성분을 구할 때 변환 공식을 이용하는 대신 간단하게 원을 몇 개 그려서 구할 수 있는 방법이다. 1800년대에 Otto Mohr라는 독일의 철도기사가 좌표에 따른 응력의 변환을 도식적으로 구하는 방법에 대해 연구한 것으로 이 공로를 인정받아 독일 명문 Stuttgart 공과대학 교수로 초빙되었다. 이때 그의 나이 무려 23세였다. 젊은 나이에 교수가 되는 것도 대단하지만 철도 기사가 교수가 되는 독일 사회도 놀라울 뿐이다.
\begin{align} \sigma_x’ &= \frac{1}{2}(\sigma_x+\sigma_y) + \frac{1}{2}(\sigma_x-\sigma_y)\cos2\theta + \tau_{xy}\sin2\theta \\\\ \tau_{x’y’} &= -\frac{1}{2}(\sigma_x-\sigma_y)\sin2\theta + \tau_{xy}\cos2\theta \end{align}
2. 응력 원(Stress Circle)
위에 있는 응력 변환 공식을 가만히 보고 있자니 뭔가 공통된 부분들이 보인다. 수직 응력식을 살짝 바꿔서 아래처럼 써보면 더 눈에 잘 보이게 된다.
\begin{align} \sigma_x’ – \frac{1}{2}(\sigma_x+\sigma_y) &= \frac{1}{2}(\sigma_x-\sigma_y)\cos2\theta + \tau_{xy}\sin2\theta \\\\ \tau_{x’y’} &= -\frac{1}{2}(\sigma_x-\sigma_y)\sin2\theta + \tau_{xy}\cos2\theta \end{align}
이제 두 식 양변을 제곱한다.
\begin{align} \left[\sigma_x’ – \frac{1}{2}(\sigma_x+\sigma_y)\right]^2 &= \frac{1}{4}(\sigma_x-\sigma_y)^2\cos^2{2\theta} + \tau_{xy}^2\sin^2{2\theta} + \frac{1}{2}(\sigma_x-\sigma_y)\tau_{xy}\cos2\theta\sin2\theta \\\\ \tau_{x’y’}^2 &= \frac{1}{4}(\sigma_x-\sigma_y)^2\sin^2{2\theta} + \tau_{xy}^2\cos^2{2\theta} -\frac{1}{2}(\sigma_x-\sigma_y)\tau_{xy}\cos2\theta\sin2\theta \end{align}
두 식을 더 한다.
\begin{align} \left[\sigma_x’ – \frac{1}{2}(\sigma_x+\sigma_y)\right]^2 + \tau_{x’y’}^2 = &\frac{1}{4}(\sigma_x-\sigma_y)^2(\cos^2{2\theta} + \sin^2{2\theta}) \\\\ &+ \tau_{xy}^2(\cos^2{2\theta} + \sin^2{2\theta}) \end{align}
여기에서 $\cos^2{2\theta} + \sin^2{2\theta} = 1$이므로 정리하면 아래와 같다.
$$ \left[\sigma_x’ – \frac{1}{2}(\sigma_x+\sigma_y)\right]^2 + \tau_{x’y’}^2 = \frac{1}{4}(\sigma_x-\sigma_y)^2 + \tau_{xy}^2 $$
이제 다음과 같이 변환된 수직 응력과 전단 응력을 변수로 생각하고 복잡해 보이는 식을 간단하게 치환해보자.
\begin{align} &\sigma_x’ \Rightarrow \sigma \\\\ & \tau_{x’y’} \Rightarrow \tau \\\\ &\frac{1}{2}(\sigma_x + \sigma_y) = \sigma_{\text{av}} \\\\ &\frac{1}{4}(\sigma_x-\sigma_y)^2 + \tau_{xy}^2 = r^2 \end{align}
결과적으로 식은 다음과 같이 익숙한 원의 방정식 형태로 간단하게 정리된다. 이것을 응력 원(stress circle)이라고 한다.
$$ (\sigma-\sigma_{\text{av}})^2 + \tau^2 = r^2 $$
그림 1. 응력 원
3. 모어 원 그리는 방법(Construction Method of Mohr’s Circle)
모어 원을 그리는 이유는 이미 알고 있는 응력 상태를 이용해 주응력과 주평면, 그리고 최대 전단 응력과 최대 전단 응력 평면을 쉽게 구할 수 있기 때문이다.
$$ \sigma_x, \ \sigma_y, \ \tau_{xy} \Rightarrow \sigma_1,\ \sigma_2,\ \theta_p,\ \tau_{\text{max}},\ \theta_s $$
주어진 응력 상태로 평균 수직 응력을 중심으로하는 원을 그리면 아래 그림 2와 같다.
그림 2. 모어 원 그리기
먼저 $\sigma$축과 $\tau$ 축을 그린다. $\tau$의 방향이 반대인 점에 유의 한다. Beer책으로 공부한 사람들은 $\tau$축을 위로 올라가는 방향으로 그릴 텐데 어떤 방법으로 하던지 여러분의 마음이다.
현재 좌표계에서의 응력 성분 $\sigma_x,\ \sigma_y$를 각각 표시하고 그 평균인 $\sigma_{\text{av}}$를 표시한다. 이 평균 수직 응력이 모어 원의 중심이 된다.
그다음 그래프 위 $(\sigma_x, \tau_{xy})$의 위치에 점을 찍고(E점) 원의 중심과 선을 이은 뒤 이 선을 반경으로 하는 원을 그린다.
그려진 원은 그림 2와 같다. 이 원에서 A점은 최소 주응력 $\sigma_2$을 의미한다. B점은 최대 주응력 $\sigma_1$을 의미한다. 마찬가지로 F점은 $\tau$ 축에서 최대이므로 $\tau_{\text{max}}$를 의미한다는 것을 알 수 있다.
그림 2에서 선분들의 길이는 아래 관계를 갖는다.
\begin{align} \overline{OC} &= \sigma_{\text{av}} \\\\ \overline{CD} &= \overline{OD} – \overline{OC} \\\\ &= \sigma_x – \frac{1}{2}\sigma_{\text{av}} \\\\ &= \frac{1}{2}(\sigma_x – \sigma_y) \\\\ \overline{OA} &= \overline{OC} – r \\\\ &= \frac{1}{2}(\sigma_x+\sigma_y) – r \\\\ &= \frac{1}{2}(\sigma_x+\sigma_y) -\sqrt{\frac{1}{4}(\sigma_x-\sigma_y)^2 + \tau_{xy}^2} = \sigma_2 \\\\ \overline{OB} &= \overline{OC} + r \\\\ &= \frac{1}{2} (\sigma_x+\sigma_y) + r \\\\ &= \frac{1}{2}(\sigma_x+\sigma_y) +\sqrt{\frac{1}{4}(\sigma_x-\sigma_y)^2 + \tau_{xy}^2} = \sigma_1 \\\\ \overline{CF} &= r \\\\ &= \sqrt{\frac{1}{4}(\sigma_x-\sigma_y)^2 + \tau_{xy}^2} = \tau_{\text{max}} \end{align}
주평면과 최대 전단 응력 평면의 각도는 아래 그림 3처럼 찾을 수 있다.
그림 3. 주평면과 최대 전단 응력 평면의 방향
그림 3에 나타난 선분들의 각도는 다음 관계를 갖는다.
\begin{align} \tan\angle{DCE} &= \frac{\overline{DE}}{\overline{CD}} \\\\ &= \frac{\tau_{xy}}{\frac{1}{2}(\sigma_x + \sigma_y)} \\\\ &= \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x+\sigma_y} = \tan2\theta_p \\\\ \tan(-\angle{ECF}) &= -\tan\angle{ECF} \\\\ &= -\frac{\overline{CD}}{\tau_{xy}} \\\\ &= -\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2\tau_{xy}} = \tan2\theta_s \end{align}
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