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조작이 없는 완벽한 주사위가 있다고 할때, 이전에 던진 값이 1이든 6이든 상관없이 다음번 던질때 각면이 나올 확률은 1/6 로 변치 않는다. 이것이 독립시행이다.
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독립시행의 확률 공식 – 켄아담스
[독립시행의 확률 공식]. 오늘은 독립 시행의 확률 공식에. 대해서 알아보겠습니다. 이전에 ‘독립’이라는 개념에. 대해서는 다뤄본 적이 있습니다.Source: kenadams.tistory.com
Date Published: 2/16/2021
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[확률과 통계] 독립시행이란? – 네이버 블로그
처음에 동전이 앞면 나온사건은 두번째 동전을 던졌을때 앞면이 나올지 뒷면이 나올지의 사건에 아무 영향을 주지 않습니다. 주사위 굴리기, 로또에서 공 …
Source: m.blog.naver.com
Date Published: 10/23/2022
View: 9836
[적분과 통계 이론 40탄] 독립시행의 확률 – winner
01. 독립시행의 확률을 시작하며… 02. 독립시행의 확률 03. 독립시행의 확률 문제 04. 독립시행의 확률과 경우의 수.
Source: j1w2k3.tistory.com
Date Published: 2/7/2021
View: 4558
[5분 고등수학] 독립시행
우리가 주사위를 던질 때, 이번에 2가 나왔다고 해서 다음번에 2가 나올 확률이 달라지지 않죠. 매번 던질 때마다 각각의 눈이 나올 확률은 1/6으로 일정 …
Source: hsm-edu-math.tistory.com
Date Published: 2/27/2022
View: 1761
수학 공식 | 고등학교 > 확률의 곱셈정리와 독립시행의 확률
매번 같은 조건에서 어떤 시행을 반복할 때, 각 시행의 결과가 다른 시행의 결과에 아무런 영향을 주지 않는 경우, 즉 매번 일어나는 사건이 서로 독립인 …
Source: www.mathfactory.net
Date Published: 5/6/2021
View: 2908
독립시행의 확률
Geogebra의 내장함수로 ‘랜덤이항분포’ 라는 것이 있습니다. 이는 성공확률이 p인 독립시행을 n번 반복했을 때 성공횟수를 출력하는 함수입니다. 여기서 시. 행횟수 …
Source: min7014.github.io
Date Published: 12/28/2021
View: 7867
독립 (확률론) – 위키백과, 우리 모두의 백과사전
확률론에서 두 사건이 독립(獨立, 영어: independent)이라는 것은, 한 사건이 일어날 확률이 다른 사건이 일어날 확률에 영향을 미치지 않는다는 것을 의미한다.
Source: ko.wikipedia.org
Date Published: 11/28/2021
View: 4699
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- Date Published: 2016. 1. 14.
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독립시행의 확률 공식
[독립시행의 확률 공식]오늘은 독립 시행의 확률 공식에
대해서 알아보겠습니다.
이전에 ‘독립’이라는 개념에
대해서는 다뤄본 적이 있습니다.
2016/05/16 – [수학 스터디] – 독립사건과 배반사건의 차이
위 개념을 숙지한 상태로
독립시행의 의미를 먼저 살펴보면
어떤 시행을 여러번 할 때
매 사건이 독립인 경우
이를 독립시행이라고 합니다.
공식을 살펴보면
역시 이해가 어려우니
주사위로 예시를 들어서
위 공식을 표현해보겠습니다.
주사위 예시를 보면
조금 감이 올거라 생각됩니다.
위처럼 독립시행의 확률을
구하는 공식은
주사위를 던지는 것과 같은
독립시행을 n번 했을 때
3의 눈이 나오는 사건 (사건A)이
r번 일어날 확률을
구하는 공식입니다.
위와 같은 공식이 나오는 원리는
위와 같이 사건 A에 대해
특정 횟수만큼 사건 A가 일어나는
경우의 수를 구할 수 있습니다. (조합)
그리고 각 경우의 수가 발생할
수 있는 확률을 구할 수 있으며
그 값은 일정합니다.
최종 확률은 각 경우의 수의
확률을 더해준 값이므로
경우의수 X 각 경우의 수의 확률을
통해서 최종 확륭를 구할 수 있습니다.
[확률과 통계] 독립시행이란?
고2, 고3 할것없이 많은 수험생들이 어려워하는 단원이 있습니다.
그것은 바로 확률과 통계 파트!
분명 미적분 파트보단 양적으론 범위가 많은건 아닌데, 헷갈리거든요.
이게 저거같기도 하고, 저게 이거같기도 하고…
이러한 혼란 현상은 고3 학생들한테 더 심하게 나타나는데요.
특히 3학년 1학기 기말고사 시험범위에 여기 확률과 통계 부분이 포함되는 순간 막막하지요.
왜냐하면 앞에 부분은 그래도 몇번 많이 반복해서 풀어봤겠지만,
6평 시험범위에 포함되지 않는 여기 확률과 통계 부분은 공부한지 오래되어 가물가물하고 이제 다시 시작하려니 막막하기 일쑤거든요.
그래서 준비했습니다.
확률파트의 가장 기초!
‘ 독립시행 ‘ 입니다.
먼저 ‘독립시행’을 설명하기에 앞서, ‘독립’ 에 대해서 말하려합니다.
독립 이란 무엇일까요?
우리가 평소에 말하는 독립하면, 3.1 운동때의 ‘대한독립만세’나 혹은 ‘부모로부터 독립할거다.’라고 말할때의 독립을 일컫지요.
그런데 수학에서의 독립도 일상에서 자주 쓰이는 그 의미와 비슷합니다.
독립을 한마디로 정의하면 “서로 영향을 안 주는 상태” 입니다.
구체적으로 어떤 경우가 있는지 예를 들어 보겠습니다.
제가 지금부터 동전을 두번 던질 겁니다.
그런데 첫번째 동전을 던졌는데..
앞면이 나왔습니다.
그럼 두번째 동전을 던졌을 때에는
뒷면이 나올까요?
YES 혹은 NO라고 대답하면 틀렸어요.
정답은?
‘모른다.’입니다.
앞면이 나올수도 있는거고 뒷면이 나올수도 있는거지요.
반반입니다. 확률은 처음 시행과 마찬가지로 딱반반입니다.
처음에 동전이 앞면 나온사건은 두번째 동전을 던졌을때 앞면이 나올지 뒷면이 나올지의 사건에 아무 영향을 주지 않습니다.
주사위 굴리기, 로또에서 공 뽑기도 이와 똑같은 원리입니다. 이렇게 사건 A가 사건 B에 전혀 영향을 주지 않을때, 우리는 비로소 ‘사건 A와 B가 서로 독립이다’ 라고 말할 수 있는것입니다.
그리고 동전을 여러번 던지거나 주사위를 여러번 던지는 행위 와 같이 매회 독립인 시행을 여러번 반복할때, 이러한 시행을 ‘독립시행’이라고 합니다.
여기까지 완벽이해??
자 그럼 이제 구체적으로 독립시행의 확률을 구해보겠습니다.
제가 이번엔 주사위를 3번 굴려볼거에요. 주사위를 3번을 굴렸을 때(독립시행), 주사위에서 숫자 1이 1번 나올 확률은 얼마일까요??
단순하게 생각합시다.
우리는 지금 숫자1이 나오냐 안나오냐 에 초점을 맞추고 있습니다.
결과는 성공이냐, 실패냐 둘 중에 하나!
숫자 1이 나오면 성공이고, 안나오면 실패이지요.
이고, 숫자 1이 안나올 확률(실패할 확률)은 . 먼저 한번의 시행에서 숫자 1이 나올 확률(성공할 확률)은이고,
따라서 3번 던져서 주사위에서 숫자 1이 1번 나올 확률(1번 성공할 확률)은 1번 성공하고 2번 실패하면 되니까
입니다. 확률은입니다.
그런데 여기서 주의할 점이 있습니다.
주사위를 3번 굴렸을 때, 숫자 1이 1번 나올 수 있는 경우의 수(성공할 경우의 수) 를 모두 생각해줘야 한다는 것입니다.
예컨대 무조건 첫 번째 시행에서만 숫자 1이 나온다는 보장이 없거든요.
그럼 숫자1이 1번 나오는 경우의 수를 모두 구하면…
성공 하나가 들어갈 자리가 총 3개(1번째시행, 2번째 시행, 3번째시행) 중에서 1개를 선택하는 경우이기 때문에
이라고도 쓸수 있겠지요?^^ 이라고도 쓸수 있겠지요?^^
따라서 정리하면 주사위를 3번 굴렸을때(독립시행), 주사위에서 숫자 1이 1번 나올 확률은
라 쓸 수 있습니다. 라 쓸 수 있습니다.
끝으로 앞선 과정들을 일반화시키면
한 번의 시행에서 사건 A가 일어날 확률을 p 라 할 때, 이 시행을 n회 반복한 독립시행 에서 사건 A가 r번 일어날 확률은
이라 정의내릴 수 있답니다.
이라 정의내릴 수 있답니다.
[5분 고등수학] 독립시행
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독립시행의 정의는 아래와 같습니다.
“어떤 시행을 여러번 반복할 때, 각 시행이 서로 독립인 경우의 시행”
예를 들면 주사위 던지기가 있습니다. 우리가 주사위를 던질 때, 이번에 2가 나왔다고 해서 다음번에 2가 나올 확률이 달라지지 않죠. 매번 던질 때마다 각각의 눈이 나올 확률은 1/6으로 일정합니다. 이런 시행을 독립시행이라고 합니다.
이번에는 독립시행의 확률을 공부해봅시다. 독립시행의 확률의 정의는 아래와 같습니다.
“시행을 1번 했을 때, A가 발생할 확률을 P라고 하자. 이 시행을 n번 했을 때 A가 r번 일어날 확률이 ‘독립시행의 확률’이다”
예를들어 봅시다. 주사위를 한번 던질 때, 홀수의 눈이 나올 확률을 1/2입니다. 이 주사위를 n번 던졌을 때, 홀수의 눈이 r번 나올 확률이 독립시행의 확률입니다.
주사위를 다섯번 던질 때, 홀수의 눈이 2번 나올 확률을 구해봅시다. 홀수의 눈이 나오는 사건을 A, 나머지 사건을 B라고 한다면 아래와 같은 경우들이 있습니다.
AABBB
ABABB
ABBAB
ABBBA
….
총 몇가지 경우가 있을까요? 5C2가지 경우가 있습니다. 따라서 확률은 아래와 같습니다.
$_5{C}_2\times {\left({\frac{1}{2}}\right)}^2\times {\left({1-\frac{1}{2}}\right)}^3$
일반화를 시켜봅시다. 시행을 n번 했고 사건 A가 r번 일어났으니까 전체 경우는 nCr입니다. n번 시행에서 사건 A가 r번 일어날 확률은 아래와 같습니다.
$_n{C}_r\times {p}^2\times {\left({1-p}\right)}^3$
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수학 공식 | 고등학교 > 확률의 곱셈정리와 독립시행의 확률
확률의 곱셈정리
두 사건 $ {A} $와 $ {B} $가 동시에 일어날 확률은
\begin{align*}
\mathrm{P}({A} \cap {B}) = \mathrm{P}(A) \mathrm{P}(B|A) = \mathrm{P}(B) \mathrm{P}(A|B)
\end{align*} 서로 독립인 두 사건 $ {A} $와 $ {B} $가 동시에 일어날 확률은
\begin{gather*}
\mathrm{P}({A} \cap {B}) = \mathrm{P}(A) \mathrm{P}(B)
\end{gather*}
$ \mathrm{P}(B|A) = \dfrac{\mathrm{P}({A} \cap {B})}{\mathrm{P}(A)} $에서
\begin{gather*}
\mathrm{P}({A} \cap {B}) = \mathrm{P}(A) \mathrm{P}(B|A)
\end{gather*}
$ \mathrm{P}(A|B) = \dfrac{\mathrm{P}({A} \cap {B})}{\mathrm{P}(B)} $에서
\begin{gather*}
\mathrm{P}({A} \cap {B}) = \mathrm{P}(B) \mathrm{P}(A|B)
\end{gather*}
흰 공 $ 4 $개, 붉은 공 $ 8 $개가 들어 있는 주머니가 있다. 갑이 먼저 공을 하나 꺼내고, 그 다음 을이 공을 하나 꺼낸다. 갑이 꺼낸 공을 다시 넣지 않을 때, 둘 다 흰 공을 꺼낼 확률을 구하여라. 갑이 꺼낸 공을 다시 넣을 때, 둘 다 흰 공을 꺼낼 확률을 구하여라.
갑이 흰 공을 꺼내는 사건을 $ A $, 을이 흰 공을 꺼내는 사건을 $ B $라 하면 $ \displaystyle \mathrm{P}({A} \cap {B}) = \mathrm{P}(A) \mathrm{P}(B|A) = \frac{4}{12} \times \frac{3}{11} = \frac{1}{11} $ 두 사건은 서로 독립이므로
\begin{gather*}
\mathrm{P}({A} \cap {B}) = \mathrm{P}(A) \mathrm{P}(B) = \frac{4}{12} \times \frac{4}{12} = \frac{1}{9}
\end{gather*}
독립시행
매번 같은 조건에서 어떤 시행을 반복할 때, 각 시행의 결과가 다른 시행의 결과에 아무런 영향을 주지 않는 경우, 즉 매번 일어나는 사건이 서로 독립인 경우, 이러한 시행을 독립시행이라고 한다.
독립시행의 확률
한 번 시행에서 사건 $ A $가 일어날 확률이 $ p $이고, 이 시행을 독립적으로 $ n $회 반복할 때 사건 $ A $가 $ r $회 일어날 확률은 \begin{align*}
\phantom{}_{n}\mathrm{C}_{r} p^r (1-p)^{n-r} \ \ ( r = 0, \ 1, \ 2, \ \cdots, \ n )
\end{align*}
동전을 $ 10 $번 던질 때, 앞면이 $ 3 $번 나올 확률을 구하여라.
위키백과, 우리 모두의 백과사전
확률론에서 두 사건이 독립(獨立, 영어: independent)이라는 것은, 한 사건이 일어날 확률이 다른 사건이 일어날 확률에 영향을 미치지 않는다는 것을 의미한다. 예를 들어서, 주사위를 두 번 던지는 경우 첫 번째에 1이 나오는 사건은 두 번째에 1이 나오는 사건에 독립적이다. 이 밖에도 다양한 독립의 개념이 존재한다. 특히 통계학에서 통계적 독립(statistically independent) 또는 독립성(independence)이라고도 한다.
정의 [ 편집 ]
독립 사건 집합 [ 편집 ]
확률 공간 ( Ω , F , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\Pr )} 위의 사건들의 집합 S ⊂ F {\displaystyle {\mathcal {S}}\subset {\mathcal {F}}} 가 다음 조건을 만족시킨다면, S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 가 서로 독립이라고 한다.
모든 유한 집합 { S 1 , … , S n } ⊂ S {\displaystyle \{S_{1},\dots ,S_{n}\}\subset {\mathcal {S}}} Pr ( S 1 ∩ S 2 ∩ ⋯ ∩ S n ) = Pr ( S 1 ) Pr ( S 2 ) ⋯ Pr ( S n ) {\displaystyle \Pr(S_{1}\cap S_{2}\cap \cdots \cap S_{n})=\Pr(S_{1})\Pr(S_{2})\cdots \Pr(S_{n})}
독립 사건 시그마 대수 집합 [ 편집 ]
확률 공간 ( Ω , F , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\Pr )} 위의, F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 의 부분 시그마 대수들의 집합 G ⊂ P ( F ) {\displaystyle {\mathfrak {G}}\subset {\mathcal {P}}({\mathcal {F}})} 이 다음 성질을 만족시킬 경우, G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} 가 서로 독립이라고 한다.
모든 유한 집합 { G 1 , … , G n } ⊂ G {\displaystyle \{{\mathcal {G}}_{1},\dots ,{\mathcal {G}}_{n}\}\subset {\mathfrak {G}}} S i ∈ G i {\displaystyle S_{i}\in {\mathcal {G}}_{i}} i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\dots ,n} Pr ( ⋂ i = 1 n S i ) = ∏ i = 1 n Pr ( S i ) {\displaystyle \textstyle \Pr(\bigcap _{i=1}^{n}S_{i})=\prod _{i=1}^{n}\Pr(S_{i})}
사건의 집합 S ∈ F {\displaystyle {\mathcal {S}}\in {\mathcal {F}}} 에 대하여, 다음 두 명제가 서로 동치이다.
S {\displaystyle {\mathcal {S}}}
{ σ ( S ) : S ∈ S } {\displaystyle \{\sigma (S)\colon S\in {\mathcal {S}}\}} σ ( S ) = { ∅ , S , Ω ∖ S , Ω } {\displaystyle \sigma (S)=\{\varnothing ,S,\Omega \setminus S,\Omega \}} S {\displaystyle S}
독립 확률 변수 집합 [ 편집 ]
같은 확률 공간 위에 정의된 (공역이 다를 수 있는) 확률 변수의 집합
X i : ( Ω , F , Pr ) → ( S i , G i ) ( i ∈ I ) {\displaystyle X_{i}\colon (\Omega ,{\mathcal {F}},\Pr )\to (S_{i},{\mathcal {G}}_{i})\qquad (i\in I)}
에 대하여, 시그마 대수
F i = { X i − 1 ( T ) : T ∈ G i } ⊂ F {\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}=\{X_{i}^{-1}(T)\colon T\in {\mathcal {G}}_{i}\}\subset {\mathcal {F}}}
를 정의할 수 있다. 만약 { F i } i ∈ I {\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{i}\}_{i\in I}} 가 시그마 대수의 집합으로서 서로 독립일 경우, 확률 변수의 집합 { X i } i ∈ I {\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}} 이 서로 독립이라고 한다.
성질 [ 편집 ]
확률 공간 ( Ω , F , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\Pr )} 위의 π계의 집합 P ⊂ P ( F ) {\displaystyle {\mathfrak {P}}\subset {\mathcal {P}}({\mathcal {F}})} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
{ σ ( P ) : P ∈ P } {\displaystyle \{\sigma ({\mathcal {P}})\colon {\mathcal {P}}\in {\mathfrak {P}}\}}
모든 유한 집합 { P 1 , … , P n } ⊂ P {\displaystyle \{{\mathcal {P}}_{1},\dots ,{\mathcal {P}}_{n}\}\subset {\mathfrak {P}}} S i ∈ P i {\displaystyle S_{i}\in {\mathcal {P}}_{i}} i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\dots ,n} Pr ( ⋂ i = 1 n S i ) = ∏ i = 1 n Pr ( S i ) {\displaystyle \textstyle \Pr(\bigcap _{i=1}^{n}S_{i})=\prod _{i=1}^{n}\Pr(S_{i})}
확률 공간 ( Ω , F , Pr ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\Pr )} 위의 시그마 대수의 집합 G ⊂ P ( F ) {\displaystyle {\mathfrak {G}}\subset {\mathcal {P}}({\mathcal {F}})} 및 G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} 의 분할 { G i } i ∈ I {\displaystyle \{{\mathfrak {G}}_{i}\}_{i\in I}} 에 대하여, 만약 G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} 가 서로 독립이라면,
{ σ ( ⋃ G i ) : i ∈ I } {\displaystyle \left\{\sigma \left(\bigcup {\mathfrak {G}}_{i}\right)\colon i\in I\right\}}
역시 서로 독립이다.
같이 보기 [ 편집 ]
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