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원의 방정식 (개념+수학문제) – 학습지제작소
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주제에 대한 기사 평가 원 의 방정식 문제
- Author: 차길영의 세븐에듀
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- Date Published: 2019. 5. 15.
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원의 방정식 (개념+수학문제)
| 같이 보면 좋은 글
📄 직선의 방정식
📄 점과 직선 사이의 거리
| 원의 방정식
좌표평면 위의 원
[정리] 원의 중심이 (a,b)이고 반지름의 길이가 r인 원의 방정식은 다음과 같습니다.원의 방정식을 구하는 유형은 크게 세 가지입니다.
i) 원의 중심과 반지름을 주는 경우
ii) 지름의 양 끝 점을 주는 경우
iii) 세 점의 좌표를 주는 경우
i) 원의 중심과 반지름을 주는 경우
예) 원의 중심이 (3,-1)이고 반지름의 길이가 2인 원의 방정식을 구하면,
ii) 지름의 양 끝 점을 주는 경우
예) 두 점 (4,-2), (-2, 6)이 원의 지름의 양 끝 점일 때, 원의 방정식을 구하면,
두 점을 잇는 선분의 중점은 (1,2)이므로,
원의 중심은 (1,2)입니다.
원의 반지름 r은 원의 중심과 양 끝점 사이의 거리와 같으므로,
따라서 원의 방정식은
iii) 세 점을 주는 경우
예) 원의 중심이 x축 위에 있고, 두 점 (0,3), (-1,-2)을 지나는 원의 방정식을 구하면,
원의 중심은 (a,0), 반지름을 r로 놓으면,
두 점 (0,3), (-1,-2)를 원의 방정식에 각각 대입하면,
a=2를 원의 방정식에 대입하면,
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원은 좌표평면 위에 나타낼 수 있습니다. 그리고 x와 y에 대한 식으로도 나타낼 수 있습니다. 원의 방정식은 원을 수식으로 나타낼 수 있어 여러 가지 방정식을 풀거나 도형 사이의 관계를 분석할 때 필요합니다.
이번 문제는 원의 방정식을 구하는 문제 20문항으로 구성했습니다. 문제를 풀어보면서 원의 방정식으로 나타내는 연습을 해보시길 바랍니다.
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고1 원의 방정식 연습문제 (5)
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고1 원의 방정식 단원 연습문제 (1)
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원의 방정식, 원의 방정식 표준형
원의 방정식은 그리 어려운 내용이 아니에요. 간단하게 두 점 사이의 거리를 이용해서 구할 수 있으니까요. 원과 관련된 기본적인 용어의 정의와 특징만 이해하고 있으면 돼요. 오히려 중학교 때 공부했던 원주각, 중심각 등보다 쉽다고 할 수 있죠.
직선의 방정식에서 표준형과 일반형을 공부했어요. 원의 방정식에도 표준형과 일반형이 있는데, 이 글에서는 원의 방정식 표준형을 알아볼 거예요.
원의 방정식 공식을 유도하는 방법과 여러 문제에서 어떻게 원의 방정식을 구하는 지를 유형별로 알아보죠.
원의 방정식
원은 한 점(정점)에서 같은 거리에 있는 점들의 집합이에요. 이때 한 정점을 원의 중심이라고 하고, 같은 거리를 반지름이라고 하죠.
좌표평면에서 한 점 C에서 같은 거리(반지름. r)에 점을 그리고 임의의 점의 좌표를 P라고 해보죠. 반지름 r은 의 길이와 같아요. 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 C와 P 사이의 거리를 구해볼까요?
P는 임의의 점이니까 원 위에 있는 모든 점은 위 방정식을 만족해요. 이 방정식이 바로 원의 방정식입니다.
원의 중심이 (a, b)이고 반지름의 길이가 r인 원의 방정식
⇔ (x – a)2 + (y – b)2 = r2
만약에 원의 중심이 원점(0, 0)이면 x2 + y2 = r2이겠죠?
위와 같은 형태를 원의 방정식의 표준형이라고 해요. 이차함수에서도 직선의 방정식에서도 표준형이라는 용어를 사용했었죠? 표준형을 보면 반지름과 원의 중심을 쉽게 구할 수 있는 장점이 있어요.
다음을 보고 원의 방정식을 구하여라.
(1) 중심이 (3, 2)이고 반지름이 9인 원
(2) 중심이 (-1, 2)이고 (2, 6)을 지나는 원
(3) (-3, -5)와 (5, 9)을 지름의 양 끝점으로 하는 원
원의 중심이 (a, b)이고 반지름이 r인 원의 방정식은 (x – a)2 + (y – b)2 = r2이에요.
(1) 공식에 그대로 대입해보죠.
(x – 3)2 + (y – 2)2 = 92
(2) 공식에 넣어보면 (x + 1)2 + (y – 2)2 = r2에요.
원의 방정식이 (2, 6)을 지나니까 이걸 식에 대입하면 r을 구할 수 있어요. 대입해보죠.
(x + 1)2 + (y – 2)2 = r2
(2 + 1)2 + (6 – 2)2 = r2
32 + 42 = r2
r2 = 9 + 16
r2 = 25
구하는 원의 방정식은 (x + 1)2 + (y – 2)2 = 25
(3) 중심과 반지름이 아니라 지나는 두 점을 알려줬네요. 그런데 두 점이 지름의 양 끝점이라고 했어요. 지름은 원의 중심을 지나는 직선으로 지름의 중점이 원의 중심이에요. 원의 중심을 구하면 (2) 번에서 했던 방법을 이용해서 r2을 구할 수 있어요.
원의 중심의 좌표를 (a, b)라고 한다면
원의 중심은 (1, 2)이니까 (x – 1)2 + (y – 2)2 = r2이네요. (5, 9)를 대입해보죠.
(x – 1)2 + (y – 2)2 = r2
(5 – 1)2 + (9 – 2)2 = r2
42 + 72 = r2
r2 = 16 + 49
r2 = 65
따라서 원의 방정식은 (x – 1)2 + (y – 2)2 = 65
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정리해볼까요 원의 방정식 원: 한 정점으로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합
원의 중심이 (a, b)이고 반지름의 길이가 r인 원의 방정식
(x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2
+ (y – b) = r 원의 방정식 표준형: 원의 중심, 반지름을 쉽게 구할 수 있다.
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[10-1, 수학(상)] 원의 방정식 문제 풀이 (+ 중선 정리 증명하기)
[10-1, 수학(상)] 원의 방정식 문제 풀이 (+ 중선 정리 증명하기)안녕하세요.
오늘 풀이할 내용은 고등학교 1학년 1학기에 배우는 원의 방정식 및 접선의 방정식 파트입니다.
원의 방정식 3문항 문제 및 풀이입니다.
문제 풀이 참고해서 스스로 문제를 풀려고 노력해보세요.
풀이가 이해가 되지 않거나, 궁금한 게 있으시면 질문 남겨주세요! ^^
수학을 완전히 정복하는 그 날까지 우리 모두 파이팅..
오른쪽 현(원의 일부분) 모양의 좌표 3개를 찾을 수 있다.
오른 쪽 현 모양의 곡선 OA에서 세 점의 좌표를 어렵지 않게 찾을 수 있어요.
그 세 점을 지나는 원의 방정식이 (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 이므로,
원의 방정식에 세 점을 대입하여 식 3개를 만들 수 있어요. (원의 방정식의 표준형 방식으로 풀 때)
세 식 중에서 두 식을 골라 소거하면, a와 b 값을 구할 수 있습니다.
계산하면, a가 3인 것을 쉽게 찾을 수 있어요.
물론 a를 유도하기 위해 현의 성질을 이용하면 더 간단하게 구할 수 있어요.
문제에서의 좌표 A(3,2)는 현의 가장 높은 점이므로,
원의 중심과 A 점을 이은 선은 항상 그 부채꼴(현)을 수직이등분합니다.
따라서 좌표 A와 좌표 P의 x좌표는 같다. 라고도 유도할 수 있네요.
또는, 원의 방정식의 일반형으로도 풀 수 있어요.
x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 에 세 점을 대입해도 됩니다.
중선정리를 이용해서 구할 수도 있습니다. 중선 정리를 증명해보자.
위 문제는 특수한 형태를 띠어서 중선 정리를 이용하면 간단하게 풀 수 있어요.
중선 정리는 증명을 해두면 쉽게 이해할 수 있으니, 증명해보시길 추천드려요.
정답에 해당하는 값을 구한 뒤에, 그 값을 직선의 방정식으로 치환시켜 풀어본 방법입니다.
그림만 복잡하지 어렵지 않은 문제입니다.
점 P와 점 Q는 각각 원의 중심이면서, 문제에 주어진 일차함수 위의 점이에요.
그래서 각각의 좌표를 p와 q로 나타낼 수 있어요.
그렇게 나타낸 x와 y의 값을 원의 방정식 x^2 + y^2 = 3^2 에 대입하면 p와 q 값을 찾을 수 있어요.
풀이도 간단합니다.
원의 두 교점을 지나는 직선의 방정식 : 원 A = 원 B 식을 정리하여 나온 식 이며,
원의 두 교점을 지나는 원의 방정식 : 원 A + k* (원 B) = 0 으로 차이가 있습니다.
문제 출처 : 블랙라벨 수학(상), Gun History
풀이 출처 : Gun History
고1 원의 방정식 단원 연습문제 (4)
(1)
(2)
(3)
(4)
(가) O Q ⋅ O P (나) 직선 O Q 의 기울기는 직선 O P 의 기울기와 같다. 20. 20)점 P 가 직선 위를 움직이고, 원점 O 에 대하여 O P ⋅ O Q 을 만족하는 점 Q 를 O P 또는 O P 의 점 P 쪽 방향의 연장선 위에 잡았을 때, 점 Q 의 자취의 방정식은? 21. 21)원 C 는 중심이 직선 의 제 사분면 위에 있고, 축에 접한다. 원 C 가 축에 의하여 잘린 현의 길이가 일 때, 원 C 의 반지름의 길이는? 22. 22)좌표평면에서 원 에 내접하는 임의의 정삼각형 ABC 의 세 꼭짓점을 각각 A B C 라 할 때, 의 값은? 23. 23)네 점 A B C D 을 꼭짓점으로 하는 사각형 ABCD 를 원점을 중심으로 회전시켰을 때, 사각형 ABCD 가 지나간 도형의 넓이를 구하면? 24. 24)다음 그림과 같이 반지름의 길이가 같은 두 원 C C ′이 있다. 원 C 는 에서 직선 에 접하고 원 C ′은 에서 직선 에 접한다. 원 C 의 방정식이 일 때, 원 C ′의 중심은 이다. 이 때, 의 값은? 25. 25)원 C 위의 점 P 에 대하여 좌표평면 위의 점 Q 가 다음 조건을 만족한다. 점 Q 의 자취의 방정식을 구하여라. 26. 26)좌표평면에서 직선 가 원 C 와 점 P 에서 접하고, 직선 과 평행한 직선 ′이 원 C 와 점 Q 에서 접한다. 점 Q 는 축 위에 있고, 삼각형 P O Q 는 O P O Q 인 이등변삼각형일 때, 원점과 직선 P Q 사이의 거리는
이다. 유리수 의 값은? (단,
O 는 원점이고, 점 Q 의 좌표는 양수이다.)
[고1]내신대비단원별기출문제(원방, 도형의 이동)
도형의 이동과 원의 방정식
내신대비 기출문제이다.
설마 여기까지 나갈까 했는데 나가는 학교가 있다.
진짜로 나갈지는 모르겠으나 나간다고 했으니 자료 만들고 보충한다.
01수학상내신대비(원의 방정식).pdf 7.49MB 01수학상내신대비(도형의 이동).pdf 5.65MB
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